设f(x)是定义在R上的函数,且对任意实数x、y都有f:(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证:f(x)是奇函数; (2)若f(-3)=a,用a表示f(12); (3)若当x>0时,有f(x)>

设f(x)是定义在R上的函数,且对任意实数x、y都有f:(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证:f(x)是奇函数; (2)若f(-3)=a,用a表示f(12); (3)若当x>0时,有f(x)>

题目
设f(x)是定义在R上的函数,且对任意实数x、y都有f:(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求证:f(x)是奇函数;
(2)若f(-3)=a,用a表示f(12);
(3)若当x>0时,有f(x)>0,则f(x)在R上是增函数.
答案
(1)显然f(x)的定义域是R,关于原点对称.
又∵函数对一切x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),
∴令x=y=0,得f(0)=2f(0),∴f(0)=0.
再令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),
∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
(2)∵f(-3)=a且f(x)为奇函数,
∴f(3)=-f(-3)=-a.
又∵f(x+y)=f(x)+f(y),x、y∈R,
∴f(12)=f(6+6)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(3+3)=4f(3)=-4a.
故f(12)=-4a.
(3)任取x1<x2,x2-x1>0,则f(x2-x1)>0
∴f(x2)+f(-x1)>0;
对f(x+y)=f(x)+f(y)取x=y=0得:f(0)=0,
再取y=-x得f(x)+f(-x)=0即f(-x)=-f(x),
∴有f(x2)-f(x1)>0
∴f(x2)>f(x1
∴f(x)在R上是增函数.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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