我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等．一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M′、N′、N、小明在探究线段MM′与N′N的

题目

我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等．一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M′、N′、N、小明在探究线段MM′与N′N的数量关系时，从点M′、N′向对边作垂线段M′E、N′F，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题、请你参考小明的思路解答下列问题：

（1）当直线l与方形环的对边相交时（如图1），直线l分别交AD、A′D'、B′C′、BC于M、M′、N′、N，小明发现MM′与N′N相等，请你帮他说明理由；
（2）当直线l与方形环的邻边相交时（如图2），l分别交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N，l与DC的夹角为α，你认为MM′与N′N还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出

MM′

N′N

的值（用含α的三角函数表示）．

答案

（1）在方形环中，∵M'E⊥AD，N'F⊥BC，AD∥BC，∴M'E=N'F，∠M'EM=∠N'FN=90°，∠EMM'=∠N'NF，∴△MM'E≌△NN'F．∴MM'=N'N；（5分）（2）解法一：∵∠NFN'=∠MEM'=90°，∠FNN'=∠EM'M=α，∴△NFN'∽△M'EM．&n...

（1）证线段相等，可证线段所在的三角形全等．结合本题，证△MM′E≌△NN′F即可；（2）由于M′E∥CD，则∠EM′M=∠FNN′=α，易证得△FNN′∽△EM′M，那么MM′：NN′=EM′：FN；而EM′=FN′，则比例式可化为：MM′NN′=FN′FN=tanα，由此可知：当α=45°时，MM′=NN′；当α≠45°时，MM′≠NN′．

本题考点：解直角三角形；直角三角形全等的判定；相似三角形的判定与性质．

考点点评：此题主要考查了相似三角形、全等三角形的判定和性质以及解直角三角形的应用等知识．