6阶非Abel群的2阶子群共有( )个,3阶子群共有( )个,4阶子群共有( )个.

题目

6阶非Abel群的2阶子群共有( )个,3阶子群共有( )个,4阶子群共有( )个.

答案

经过很久尝试终于得到结果了.
结论是：6阶非Abel群的2阶子群共有(3 )个,3阶子群共有( 1)个,4阶子群共有(0 )个.
首先,由拉格朗日定理知道6阶非Abel群的4阶子群个数为零,因为6不能整除4.
然后可以找到3阶置换群S3={(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)},它是6阶非Abel群,
其中二阶子群为{(1),(1 2)},{(1),(1 3)}{(1),(2 3)},三阶子群为{(1),(1 3 2),(1 2 3)}
你可以验证一下满足题意和结论.
那么关键是讨论出了S3以外是否还有其他群满足.
我们以三阶子群作为分类.
1、三阶子群个数为0；2、三阶子群个数为1（这个是上面的情况）；3、三阶子群个数为2.
三阶子群个数为3或3以上的,很明显构造不出来,因为除去单位元1之外,至少还要6个元素,此时阶数为7,不是阶非Abel群.所以关于6阶非Abel群的子群问题只有上述三种情况分类.
最后,证明分类1,3不满足题意.
对于分类1：可设其为A={1,a,b,c,d,e}.因为没有三阶群,故出去1之外,其他元素的阶均为2,所以A的子群为{1,a}{1,b}{1,c}{1,e}{1,f}.因为元素的阶为2,所以a^2=1,即a=a^(-1),所以元素的逆即为自己.同样的可以讨论其他元素.
为了保证群中乘法的封闭性,我们假设ab=c(推理可知ab不能等于1,ab不能等于a,ab不能等于b,所以ab的值只能为c,d,e,f中的一个,取c）,那么c^2=1=(ab)^2,所以有ab=(ab)^(-1),而b^2=a^2=1,可知(ab)(ba)=a(bb)a=aa=1,所以(ab)^(-1)=ba.这样我们就有ab=ba.对于其他元素我们也可以这样讨论,那么可发现这个群地所有元素可交换,此时该群为Abel群,与题目假设矛盾.
对于分类2：可设其为A={1,a,b,c,d,e}.因为三阶子群个数为2,可得到出去{1}的子群为
{1,a,b}{1,c,d}{1,e},此时a,b,c,d的阶为3,e的阶为2,且a^2=b,b^2=a,c^2=d,d^2=c,e^2=1,于是ab=ba=cd=dc=1（这一步你自己要好好想想,原因写起来太麻烦）.那么ab=a*a^2=1=ba=a^2*a,即ab=ba.同样有cd=dc.
现在考虑ac=?
若ac=b,b(ac)=b*b=a,(ba)c=1*c=c,但是b(ac)=(ba)c,a!=c,矛盾,故ac!=b;
若ac=d,(ac)d=d^2=c,a(cd)=a*1=a,矛盾,故ac!=d
所以ac=e,同理有ca=cb=bc=da=ad=db=bd=e.
现在考虑ae=?
ae=a,ae=e显然是不可能的.
若ae=b,(ae)e=be,a(ee)=a,由(ae)e=a(ee),推出be=a,而b^2=a,故b=e,矛盾
若ae=c,因为(ae)(ea)=a(ee)a=aa=b,又ae=c,所以c(ea)=b,两边乘以c的逆,ea=c^(-1)*b=db
而由上面ac=b的讨论知道db=e,即ea=e,矛盾
所以此分类下没有6阶非Abel群.
综上所述,6阶非Abel群的2阶子群共有(3 )个,3阶子群共有( 1)个,4阶子群共有(0 )个