解三角形中...sinA的平方-sinB的平方为什么等于sin(A+B)sin(A-B)

题目

解三角形中...sinA的平方-sinB的平方为什么等于sin(A+B)sin(A-B)
三角形ABC的三个内角的对边分别是abc,如果a的平方等于b*(b+c),求证A=2B.在解这道题的过程中有一部步是将sinA²-sinB²化为sin(A+B)*sin(A-B).这是为什么啊?我是一名高中生,现在在家自己预习,但是这点不太明白,最好讲的详细些.

答案

sin(A+B)*sin(A-B)=(sinAcosB+cosAsinB)(sinAcosB-cosAsinB)=sin²Acos²B-cos²Asin²B=sin²Acos²B-(1-sin²A)sin²B=sin²Acos²B-sin²B+sin²Asin²B=sin²A(cos²B+sin²B)-sin²B=sin²A-sin²B