求e^(-1/x^2)的n阶导数 另定义:x=0时y=0

求e^(-1/x^2)的n阶导数 另定义:x=0时y=0

题目
求e^(-1/x^2)的n阶导数 另定义:x=0时y=0
答案
这个题还有点不一样,因为(0,0)处无法判定是否n阶可导,所以必须用导数定义来求
(首先,恒有(x→0)lim e^(-1/x^2)/x^k=0
证明:k≤0时,显然成立
k>0时,(x→0)lim e^(-1/x^2)/x^k=(t→∞)lim t^k/e^(t^2)=0,连续用洛必达法则可得结果)
n阶导数用y(n)表示
x=0处的导数
y(1)=lim [e^(-1/x^2)-0]/(x-0)=0
y(2)=lim 2/x^3*e^(-1/x^2)/x=0
不管求多少阶导,n阶导数,当x≠0时的表达式中,总含有e^(-1/x^2),故
y(n)=0
然后一般情况
e^(-1/x^2)=y
-1/x^=lny
求导
2/x^3=y'/y
2y=x^3y'
莱布尼茨公式求n阶导
2y(n)=y(n+1)+3nx^2y(n)+3n(n-1)xy(n-1)+n(n-1)(n-2)y(n-2)
所以得到
y(n+1)+y(n)(3nx^2-2)+3n(n-1)xy(n-1)+n(n-1)(n-2)y(n-2)=0
的四阶齐次线性微分方程.
二阶齐次线性微分方程都没有一般解法.
晕,一般就是求特殊点的n阶导数值.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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