已知tan α=-1/3 ,cos β= 根号5/5,α,β∈(0,π).,求:根号2sin(π/6-α)+cos(π/6+β)

题目

已知tan α=-1/3 ,cos β= 根号5/5,α,β∈(0,π).,求:根号2sin(π/6-α)+cos(π/6+β)

答案

√2sin(π/6-α)+cos(π/6+β)
=√2(sinπ/6·cosα-cosπ/6·sinα)+cosπ/6·cosβ-sinπ/6·sinβ
=√2(1/2·cosα-√3/2·sinα)+(√3/2·cosβ-1/2·sinβ)
现在我们来判断α和β所在的象限
tanα=-1/3,α可能为第二象限角,或第四象限角
若α为第二象限角,则sinα=√10/10,cosα=-3√10/10
此时√2(1/2·cosα-√3/2·sinα)=√2[1/2·(-3√10/10)-√3/2·√10/10]=-3√5/10-√15/10
若α为第四象限角,则sinα=-√10/10,cosα=3√10/10
此时√2(1/2·cosα-√3/2·sinα)=√2[1/2·3√10/10-√3/2·(-√10/10)]=3√5/10+√15/10
cosβ=√5/5,则β可能为第一象限角或第四象限角
若β为第一象限角,则sinβ=2√5/5,
则(√3/2·cosβ-1/2·sinβ)=(√3/2·√5/5-1/2·2√5/5)=√15/10-√5/5
若β为第四象限角,则sinβ=-2√5/5,
则(√3/2·cosβ-1/2·sinβ)=[√3/2·√5/5-1/2·(-2√5/5)]=√15/10+√5/5
若α为第二象限角,β为第一象限角,则原式=-3√5/10-√15/10+√15/10-√5/5=√5/10
若α为第二象限角,β为第四象限角,则原式=-3√5/10-√15/10+√15/10+√5/5=√5/2
若α为第四象限角,β为第一象限角,则原式=3√5/10+√15/10+√15/10-√5/5=√5/10+√15/5
若α为第四象限角,β为第四象限角,则原式=3√5/10+√15/10+√15/10+√5/5=√5/2+√15/5
如果计算过程有问题,还请见谅.