已知向量OA+BA+OC=0,且｜OA｜+｜OB｜+｜OC｜=1,求证三角形ABC为正三角形

题目

已知向量OA+BA+OC=0,且｜OA｜+｜OB｜+｜OC｜=1,求证三角形ABC为正三角形

答案

OA+OB+OC=0
|OA|^2=|-OB-OC|=|OB+OC|^2=OB^2+2OB*OC+OC^2
=|OB|^2+2|OB||OC|cos+|OC|^2
cos=-1/2
向量OB,OC的夹角为120度
同理OA与OC,OA与OB夹角为120度
|AB|=|AO+OB|=√3
|AC|=|AO+OC|=√3
|BC|=|BO+OC|=√3
ABC为正三角形