若a为整数,则a³;-a能被6整除

题目

若a为整数,则a³;-a能被6整除
判断此说法是否正确,并说明理由

答案

式子是A的三次方减A吧.
说法正确（当然说的是广义的整除,商可以为负整数.）
A^3 - A
= A (A^2 -1)
= A (A - 1) (A + 1)
= (A - 1) A (A + 1)
因为(A - 1)、 A 、(A + 1)是3个连续整数,
3个连续整数中,至少有1个偶数；至少有1个数被3整除（鸽巢原理或抽屉原理）
因此(A - 1)、 A 、(A + 1) 中,必含有因数2、3.
因此A^3 - A = (A - 1) A (A + 1)能被2×3 = 6整除.