求抛物线y²=2x到直线y=x+5最小值是多少?

题目

求抛物线y²=2x到直线y=x+5最小值是多少?

答案

先求出与直线y=x+5平行且与抛物线y²=2x相切的直线方程
设切线方程为
y=x+b
y²=2x
x^2+2bx+b^2=2x
x^2+(2b-2)x+b^2=0
判别式=4b^2-8b+4-4b^2
=-8b+4
=0
b=1/2
切线方程为 y=x+1/2
两平行线之间的距离就是抛物线y²=2x到直线y=x+5最小值
d=|5-1/2|/根号2
=9根号2/2