如果等腰三角形腰上的中线与底边的中线相等,这个等腰三角形是等边三角形吗?

题目

如果等腰三角形腰上的中线与底边的中线相等,这个等腰三角形是等边三角形吗?
再详细说明一下如果是顶角的角平分线与任意一个底角的角平分线相等，那么这个等腰三角形是等边三角形吗？说明理由啊！（下面回答的不是很懂，我只是个初二的...）

答案

都是等边三角形.证明如下：
第一个问题：
△ABC中,AB＝AC,D、E分别是BC、AC的中点,且AD＝BE,求证：△ABC是等边三角形.
令AD与BE的交点为O,延长CO交AC于G.
∵O是△ABC的重心,∴AO＝（2/3）AD,BO＝（2/3）BE,又AD＝BE,∴AO＝BO,
∴点O在AB的垂直平分线上,显然有：AF＝BF,∴CF⊥AB,
∴点C在AB的垂直平分线上,∴AC＝BC,又AB＝AC,∴AB＝AC＝BC,
即△ABC是等边三角形.
第二个问题：
△ABC中,AB＝AC,AD、BE是角平分线,且AD＝BE,求证：△ABC是等边三角形.
下面利用反证法证明：
假设∠CAB、∠ABC不相等,不失一般性地假设∠CAB＞∠ABC.
令AD与BE交于点O.
∵∠CAD＝∠CAB/2,∠CBE＝∠ABC/2,∴∠CAD＞∠CBE.
这样就一定能在OE上找到一点F,使∠CBE＝∠DAF,∴A、B、D、F共圆.
考虑到∠BAD＝∠CAB/2,∠ABE＝∠ABC/2,结合假设的∠CAB＞∠ABC,
得：∠BAD＞∠ABE,再结合作出的∠CBE＝∠DAF,得：∠BAD＋∠DAF＞∠ABE＋∠CBE,
即：∠BAF＞∠ABD,而由证得的A、B、D、F共圆,得：BF＞AD.
显然,BE＞BF,∴BE＞AD,但AD＝BE,∴假设的∠CAB、∠ABC不等是错误的.
∴只能是∠CAB＝∠ABC,得：BC＝AC,又已知AB＝AC,∴△ABC是等边三角形.