设F1,F2分别是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点,若在直线x=a^2/c上存在点P,使线段PF1的中垂线过F2,则椭圆离心率的取值范围是?

题目

设F1,F2分别是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点,若在直线x=a^2/c上存在点P,使线段PF1的中垂线过F2,则椭圆离心率的取值范围是?

答案

由题知F2(c,0),P(a^2/c,y) y是设的
|F1F2|=|F2P|
|F1F2|^2=|F2P|^2
(2c)^2=(a^2/c-c)^2+y^2
e=c/a代入得
(3e^2+2-1/e^2)a^2=y^2>=o a^2>0
3e^2+2-1/e^2>=0
3(e^2)^2+2e^2-1>=0
用一元二次不等式的解法得e^2>=1/3,或e^2=1/3得e>=根号3/3,或e