椭圆x24+y2=1的内接矩形的面积的最大值为_.
题目
椭圆
+y2=1的内接矩形的面积的最大值为______.
答案
由题意的方程可知:矩形的对角线的斜率存在.
设椭圆内接矩形一条对角线的方程为y=kx,不妨设k>0.
联立
,
化为(1+4k
2)x
2=4,取第一象限的顶点A(x,y),
解得
x=,∴
y=.
∴内接矩形的面积S=2x•2y=4xy=4×
=
≤=4.当且仅当k=
上取等号.
故椭圆
+y2=1的内接矩形的面积的最大值为4.
故答案为:4.
由题意的方程可知:矩形的对角线的斜率存在.设椭圆内接矩形一条对角线的方程为y=kx,不妨设k>0.
与椭圆的方程联立距离解得第一象限的顶点A(x,y),再利用内接矩形的面积S=2x•2y=4xy,及基本不等式即可得出.
椭圆的简单性质.
本题考查了椭圆的对称性、内接矩形的面积的最大值问题、基本不等式的性质,属于难题.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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