求函数y=sin(x/2)+根3倍的cos(x/2)的最大值及相应的x的集合

题目

求函数y=sin(x/2)+根3倍的cos(x/2)的最大值及相应的x的集合
包括你是怎么想出来的

答案

y=sin(x/2)+√3cos(x/2)
=2[sin(x/2)/2+√3cos(x/2)/2]
=2[sin(x/2)cos(π/3)+sin(π/3)cos(x/2)]
=2sin(x/2+π/3)
当x/2+π/3=2kπ+π/2,即x=4kπ+π/3时,y=sin(x/2)+√3cos(x/2)有最大值2
y=asinx+bcosx可使用辅助角公式
即y=asinx+bcosx=√(a²+b²)sin(x+φ),其中tanφ=b/a
asinx+bcosx=√(a²+b²)sin(x+φ), (tanφ=b/a)
以下是证明过程
令点(a,b)为某一角φ终边上的点,则sinφ=b/√(a²+b²),cosφ=a/√(a²+b²)
设asinx+bcosx=ksin(x+φ)
asinx+bcosx=k[sinxcosφ+sinφcosx]
asinx+bcosx=k[asinx/√(a²+b²)+bcosx/√(a²+b²)]
则k=√(a²+b²)
有asinx+bcosx=√(a²+b²)sin(x+φ),tanφ=sinφ/cosφ=b/a