一道解析几何题

题目

一道解析几何题
在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的长为2,宽为1,AB,AD分别在x轴,y轴的正半轴上,A点与坐标原点重合,将矩形折叠,使A点落在线段DC上,折痕方程为2kx-2y+k^2+1=0
求折痕的长的最大值
（需要讨论k,挺麻烦的,帮写下讨论的过程）

答案

折痕方程为2kx-2y+k^2+1=0
x轴的截距=-(k^2+1)/2k
y轴的截距=(k^2+1)/2
当k=0时 折痕方程为y=1/2
折痕的长的最大值=2
当k>0时,x轴的截距0,无解
当k0,y轴的截距>0,
A点关于折痕的对称点A'
则AA'的方程
y=-x/k=kx+(k^2+1)/2
x=-k/2
y=1/2
A'(-k,1) 在线段DC上
当x轴的截距=2时折痕最大
k=根3-2
y轴的截距=4-2根3
折痕=4根（2-根3）