帮忙证明一个函数的周期

题目

帮忙证明一个函数的周期
证明一个周期函数求证f(x)+f(x+a)+f(x+2a)+f(x+3a)+f(x+4a)=f(x)f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a)的周期为T=5a 我做到f(x+a)*f(x+2a)*f(x+3a)*f(x+4a)=1时 作商得到的是T=4a为什么不适合

答案

由：f(x)+f(x+a)+f(x+2a)+f(x+3a)+f(x+4a)=f(x)f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a)
以x+a代入,得：f(x+a)+f(x+2a)+f(x+3a)+f(x+4a)+f(x+5a)=f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a)f(x+5a)
两式相减得：f(x)-f(x+5a)=f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a)[f(x)-f(x+5a)]
即[f(x)-f(x+5a)][f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a)-1]=0
因此有两种情况：
1）f(x)=f(x+5a),这时T=5a
2）f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a)=1,这时代入原等式得：
f(x+a)+f(x+2a)+f(x+3a)+f(x+4a)=0
以x-a代入得：f(x)+f(x+2a)+f(x+3a)+f(x+3a)=0
两式相减：f(x)-f(x+4a)=0
得f(x)=f(x+4a),这时T=4a
因此T=5a或T＝4a都符合.如果T都满足5a及4a,则T=a也是其周期.
而显然若f(x)=5^(1/4) 常数函数,则任意一个正数都是其正周期.