如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,D1D⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,且AB=1,D1D=2. (1)求直线D1B与平面ABCD所成角的大小; (2)求证:AC⊥平面BB1D1D.
题目
如图,在四棱柱ABCD-A
1B
1C
1D
1中,D
1D⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,且AB=1,D
1D=
.
(1)求直线D
1B与平面ABCD所成角的大小;
(2)求证:AC⊥平面BB
1D
1D.
答案
(1)
∵D
1D⊥平面ABCD,BD是D
1B在底面ABCD上的射影,
∴∠D
1BD是直线D
1B与平面ABCD所成的角,
在直角三角形D
1BD中,BD=
,D
1D=
,
则tan∠D
1BD=
=1,
∴∠D
1BD=45°,
即直线D
1B与平面ABCD所成角的大小为45°;
(2)证明:∵ABCD为正方形,∴AC⊥BD,
∵D
1D⊥平面ABCD,∴D
1D⊥AC,
又BD∩D
1D=D,
∴AC⊥平面BB
1D
1D.
(1)由D1D⊥平面ABCD,BD是D1B在底面ABCD上的射影,则∠D1BD是直线D1B与平面ABCD所成的角,在直角三角形D1BD中,由已知数据,即可求出∠D1BD;
(2)要证AC⊥平面BB1D1D,只需证得AC⊥BD,AC⊥D1D,由正方形的对角线的性质和D1D⊥底面ABCD,即可得证.
直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角.
本题考查空间直线与平面所成的角,考查直线与平面垂直的判定和性质,同时考查运算能力,属于中档题.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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