已知（a+b）（b+c）（c+d）（d+a）=（a+b+c+d）（bcd+cda+dab+abc）,求证ac=bd

题目

已知（a+b）（b+c）（c+d）（d+a）=（a+b+c+d）（bcd+cda+dab+abc）,求证ac=bd

答案

令 a+b=p,c+d=q,由条件化为 pq(b+c)(d+a)=(p+q)(cdp+adq),
展开整理得 cdp2-(ac+bd)+pq+abq2=0,即(cp-bq)(dp-aq)=0.
于是 cp=bq 或 dp=aq,即 c(a+b)=b(c+a)或 d(a+b)=a(c+d).
均可得出 ac=bd.