已知命题p:方程x23−t+y2t+1=1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆;命题q:实数a满足不等式t2-(a-1)t-a<0. (1)若命题p为真,求实数t的取值范围; (2)若命题p是命题q的充分
题目
已知命题p:方程
+=1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆;命题q:实数a满足不等式t
2-(a-1)t-a<0.
(1)若命题p为真,求实数t的取值范围;
(2)若命题p是命题q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
答案
解(1)∵方程
+=1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆
∴
,解之得:-1<t<1…(6分)
(2)∵命题q:实数满足不等式t
2-(a-1)t-a<0,即(t+1)(t-a)<0.
∴命题q为真命题,当a>-1时,得到t∈(-1,a);当a<-1时,命题q为真命题得到t∈(a,-1)
∵命题P是命题q的充分不必要条件
∴集合{t|-1<t<1}是不等式t
2-(a-1)t-a<0解集的真子集…(9分)
由此可得a>-1且(-1,1)
(-1,a)
解之得:a>1…(12分)
(1)根据焦点在x轴上椭圆的标准方程形式,得3-t>t+1>0,解此不等式组即可得到实数t的取值范围.
(2)命题p是命题q的充分不必要条件,说明(1)中t的范围对应集合是不等式t2-(a-1)t-a<0的解集的子集,由此建立不等关系,可解出实数a的取值范围.
椭圆的标准方程;命题的真假判断与应用;必要条件、充分条件与充要条件的判断.
本题给出椭圆的焦点在x轴上,求参数t的取值范围并探求一个充分不必要条件,着重考查了椭圆的标准方程和充分必要条件的判断等知识,属于基础题.
举一反三
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