设函数f(x)=1/3x^3-(a+1）x^2+4ax+24a,其中常数a>1.试讨论方程f(x)=0在（0,正无穷）上的根的个数,

题目

设函数f(x)=1/3x^3-(a+1）x^2+4ax+24a,其中常数a>1.试讨论方程f(x)=0在（0,正无穷）上的根的个数,
并求出相应的a的取值范围

答案

f'(x)=x^2-2(a+1)x+4a=(x-2)(x-2a)=0,得极值点x=2,2a因为a>1,f(x)在（0,2）递增,在（2,2a)递减,在（2a,+∞)递增f(2)为极大值,f(2a)为极小值f(0)=24a>0f(2)=8/3-4(a+1)+8a+24a=28a-4/3>0f(2a)=-4a^3/3+4a^2+24a=-4a/3...