请求1/1+x^4的不定积分

请求1/1+x^4的不定积分

题目
请求1/1+x^4的不定积分
答案
方法一:
1+x^4=(x^2-√2x+1)(x^2+√2x+1),按照有理函数的部分分解的方法,
1/(1+x^4)=1/(2√2)×[(x+√2)/(x^2+√2x+1)-(x-√2)/(x^2-√2x+1)]
接下去的做法就是把分子拆成两部分:一部分是分母的导数的一个倍数,一部分是常数,这是有理函数的不定积分的定式.
方法二:
∫(x^2+1)/(1+x^4)dx=∫(1+1/x^2)/(x^2+1/x^2)dx=∫1/(x^2+1/x^2)d(x-1/x)=∫1/[(x-1/x)^2+2]d(x-1/x)=1/√2×arctan[(x-1/x)/√2]+C=1/√2×arctan[(x^2-1)/√2x]+C
∫(x^2-1)/(1+x^4)dx=∫(1-1/x^2)/(x^2+1/x^2)dx=∫1/(x^2+1/x^2)d(x+1/x)=∫1/[(x+1/x)^2-2]d(x+1/x)=1/(2√2)×ln|(x+1/x-√2)/(x+1/x+√2)|+C=1/(2√2)×ln|(x^2-√2x+1)/(x^2+√2x+1)|+C
所以,∫1/(1+x^4)dx=1/(2√2)×arctan[(x^2-1)/√2x]+1/(4√2)×ln|(x^2-√2x+1)/(x^2+√2x+1)|+C
--------
注:两种做法得到的结果形式稍有不同,第一种做法的结果中出现二个反正切函数
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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