已知函数f(x)=11-8cosx-2sin^2x,x∈[-π/2,π/2],求f(x)的最大值及最小值,并求此时x值

题目

已知函数f(x)=11-8cosx-2sin^2x,x∈[-π/2,π/2],求f(x)的最大值及最小值,并求此时x值

答案

F(x)=11-8cosx-2sin^2x
=11-8cosx-2(1-cos^2x)
=2cos^2x-8cosx+9
=2(cosx-2)^2+1 令cosx=t,
上式=2(t-2)^2+1
x属于[-90度,90度],t属于[0,1]
二次函数
y=2(t-2)^2+1在[0,1]上是减函数
当t=0时,此时x=-90度或90度,最大值y=9
当 t=1时,此时x=0度,最小值y=3