在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c已知向量M=(c-2b,a) n=（cosA,cosC）且M垂直n

题目

在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c已知向量M=(c-2b,a) n=（cosA,cosC）且M垂直n
若向量AB*向量AC=4,求边a的最小值

答案

因为m⊥n,则m*n=0,代入,
有：(c－2b)cosA＋acosC=0,
即：(sinC－2sinB)cosA＋sinAcosC=0,sin(A＋C)=2sinBcosA,sinB=2sinBcosA,
则cosA=1/2,A=60°；
因AB*AC=|AB|×|AC|×cosA=bccosA=4,即bc=8,
而a²=b²＋c²－2bccosA=b²＋c²－bc≥[2bc]－bc=bc=8,
即：a≥2√2,所以a的最小值是2√2