设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）=1/x，g（x）=f（x）+f′（x）．求g（x）的单调区间和最小值．

题目

设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）=

1

x

，g（x）=f（x）+f′（x）．求g（x）的单调区间和最小值．

答案

由题设易知f(x)=lnx，g(x)=lnx+

1

x

，g′(x)=

x-1

x2

，令g'（x）=0，得x=1．
当 x∈（0，1）时，g'（x）＜0，故（0，1）是g（x）的单调减区间，
当x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，故（1，+∞）是g（x）的单调增区间，
因此，x=1是 g（x）的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，
所以最小值为g（1）=1．

由f′（x）=

1

x

，确定函数f（x）=lnx，然后求g'（x），利用导数求g（x）的单调区间和最小值．

本题考点：利用导数研究函数的单调性

考点点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最小值，要求熟练掌握导数和单调性与极值、最值的关系．