点A，B分别在一次函数y=x与y=8x的图象上，其横坐标分别为a，b（a＞0，b＞0），若直线AB为一次函数y=kx+m的图象，当b/a是整数时？求满足条件的整数k的值．

题目

点A，B分别在一次函数y=x与y=8x的图象上，其横坐标分别为a，b（a＞0，b＞0），若直线AB为一次函数y=kx+m的图象，当

b

a

是整数时？求满足条件的整数k的值．

答案

∵点A，B分别在一次函数y=x与y=8x的图象上，
∴设A（a，a），B（b，8b），则有

ak+m＝a bk+m＝8b

，
消去m得：（a-b）k=a-8b，
∵当a=b时，a=b=0与题意不符合，
∴a≠b，且k=

a−8b

a−b

=

1− 8b a

1− b a

；
设

b

a

=t，则
k=

1−8t

1−t

=

8t−1

t−1

=

8(t−1)+7

t−1

，即k=8+

7

t−1

；
∵

b

a

是整数，a＞0，b＞0，t-1≠0，
∴t是整数，且t＞0，t≠1；
又∵k为整数，
∴t-1=7或t-1=1，
∴t=8或t=2，
∴k=9或k=15．

根据题意，可以设A（a，a），B（b，8b），据此列出关于a、b的方程组，然后通过解方程组知：（a-b）k=a-8b；从而求得k=

a−8b

a−b

=

1− 8b a

1− b a

；再利用换元法（设

b

a

=t）以及整数的定义求得k值．

本题考点：待定系数法求一次函数解析式．

考点点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式．解得该题时，需要讨论a与b的数量关系，以防出现增根．