如图，MN∥PQ，直线l分别交MN、PQ于点A、C，同旁内角的平分线AB、CB相交于点B，AD、CD相交于点D．试证明四边形ABCD是矩形．

题目

如图，MN∥PQ，直线l分别交MN、PQ于点A、C，同旁内角的平分线AB、CB相交于点B，AD、CD相交于点D．试证明四边形ABCD是矩形．

答案

证明：∵MN∥PQ，
∴∠MAC=∠ACQ、∠ACP=∠NAC，
∵AB、CD分别平分∠MAC和∠ACQ，
∴∠BAC=

1

2

∠MAC、∠DCA=

1

2

∠ACQ，
又∵∠MAC=∠ACQ，
∴∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD，
∵AD、CB分别平分∠ACP和∠NAC，
∴∠BCA=

1

2

∠ACP、∠DAC=

1

2

∠NAC，
又∵∠ACP=∠NAC，
∴∠BCA=∠DAC，
∴AD∥CB，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD平行四边形，
∵∠BAC=

1

2

∠MAC，∠ACB=

1

2

∠ACP，
又∵∠MAC+∠ACP=180°，
∴∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．