如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,上下底面都是正方形,侧棱DD1⊥平面ABCD,DD1=2 求证：A1C1与AC共

题目

如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,上下底面都是正方形,侧棱DD1⊥平面ABCD,DD1=2 求证：A1C1与AC共
如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,上下底面都是正方形,侧棱DD1⊥平面ABCD,DD1=2 求证：A1C1与AC共面,B1D1与BD共面

答案

证明：∵D1D⊥平面A1B1C1D1,D1D⊥平面ABCD．
∴D1D⊥DA,D1D⊥DC,平面A1B1C1D1∥平面ABCD．
于是C1D1∥CD,D1A1∥DA．
设E,F分别为DA,DC的中点,连接EF,A1E,C1F,
有A1E∥D1D,C1F∥D1D,DE=1,DF=1．∴A1E∥C1F,
于是A1C1∥EF．由DE=DF=1,得EF∥AC,
故A1C1∥AC,A1C1与AC共面．
过点B1作B1O⊥平面ABCD于点O,
则B1O∥=A1E,B1O∥=C1F,连接OE,OF,
于是OE∥=B1A1,OF∥=B1C1,∴OE=OF．
∵B1A1⊥A1D1,∴OE⊥AD．∵B1C1⊥C1D1,∴OF⊥CD．
所以点O在BD上,故D1B1与DB共面．
注∥=表示平行且相等