设曲线y=e-x（x≥0）在点M（t，e-t）处的切线L与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t），求S（t）的解析式．

题目

设曲线y=e^-x（x≥0）在点M（t，e^-t）处的切线L与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t），求S（t）的解析式．

答案

对y=e^-x求导可得
f′（x）=（e^-x）′=-e^-x，
故切线L在点M（t，e^-t）处的斜率为
f′（t）=-e^-t，（3分）
故切线L的方程为
y-e^-t=-e^-t（x-t）．
即
e^-tx+y-e^-t（t+1）=0，（5分）
令y=0可得x=t+1
令x=0可得y=e^-t（t+1），（7分）
所以
S（t）=

1

2

(t+1)•e−t(t+1)=

1

2

(t+1)2e−t（t≥0）．（10分）