已知实数a,b,c,d,e满足a+b+c+d+e=8.a2+b2+c2+d2+e2=16,试确定e的最大值.
题目
已知实数a,b,c,d,e满足a+b+c+d+e=8.a2+b2+c2+d2+e2=16,试确定e的最大值.
答案
根据已知条件
| a+b+c+d=8−e | a2+b2+c2+d2=16−e2 |
| |
,
利用柯西不等式得(a
2+b
2+c
2+d
2)(1
2+1
2+1
2+1
2)≥(a+b+c+d)
2,
∴(16-e
2)•4≥(8-e)
2,化简得5e
2-16e≤0,解之得0≤e≤
.
因此可得:当且仅当a=b=c=d=
时,e的最大值为
.
根据柯西不等式,构造出(a2+b2+c2+d2)(12+12+12+12)≥(a+b+c+d)2,结合已知条件建立关于e的二次不等式,解之即可得到实数e的最大值.
柯西不等式.
本题给出已知等式,求实数e的最大值.着重考查了利用柯西不等式求最值,考查了一元二次不等式的解法,属于中档题.
举一反三
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