在△ABC中,求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc

题目

在△ABC中,求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc

答案

令a=y+z,b=z+x,c=x+y,则
abc=(x+y)(y+z)(z+x)
> =8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)
=a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc.
所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc.