已知f(x)的值域为[3/8,4/9],求y=g(x)=f(x)+√1-2f(x)的值域

题目

已知f(x)的值域为[3/8,4/9],求y=g(x)=f(x)+√1-2f(x)的值域
p.s：1-2f(x)是在根号下.

答案

设t=f(x),则由题意
g(x)=t+√(1-2t),3/8≤t≤4/9,
再设s=√(1-2t),
则t=(1-s²)/2,1/3≤s≤1/2.
∴g(x)=h(s)= [(1-s²)/2]+s
=(-1/2)(s-1)²+1,1/3≤s≤1/2.
结合二次函数图象可得
h(1/3) ≤h(s) ≤h(1/2),即7/9≤h(s) ≤7/8,
∴g(x)的值域为[7/9,7/8].