已知0＜α＜π/2,π/2＜β＜π,且tanα/2=1/2,sin(α+β）=5/13

题目

已知0＜α＜π/2,π/2＜β＜π,且tanα/2=1/2,sin(α+β）=5/13
（1）分别求cosα与cosβ的值；(2)求tan（α-β）的值 求过程………………

答案

因为tan(α/2)=1/2,所以：
tanα＝2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]=1/(1-1/4)=4/3
tan2α=2tanα/(1-tan²α)=(8/3)/[1-(16/9)]=-24/7
又sinα/cosα=tanα,sin²α+cos²α=1
所以16/9 ×cos²α+cos²α=1
即cos²α=9/25
因为0＜α＜π/2
所以得cosα=3/5,sinα=4/5
又π/2＜β＜π,则π/2＜α+β＜3π/2
因为sin(α+β）=5/13,所以α+β是第二象限角
易解得cos(α+β)=-12/13,tan(α+β)=-5/12
所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-12/13 *(3/5) +5/13 *(4/5)=-16/65
又由前知tan2α=-24/7
tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]
=[tan2α-tan(α+β)] /[1-tan2α*tan(α+β)]
=[(-24/7)-(-5/12)]/[1-(-24/7)*(-5/12)]
=253/36