证明：等边三角形内一点到三个顶点距离之和小于两边之和

题目

证明：等边三角形内一点到三个顶点距离之和小于两边之和

答案

在二维空间里设一个等边三角形,边长为2 三个顶点的坐标分别为 （1,0）（－1,0）（0,√3） 则三角形内的点可表示为x<1-1/√3y;x>1/√3y-1;y>0;y<√3; 此为边界条件 另外 该点到三个顶点的距离为D＝√((x-1)2+y2)+√((x+1)2+y2)+√(x2+(y-√3)2) 只需证明这个函数在边界条件的情况下的极大值（最大值）小于4即可 由于这是一个二元函数求极值可以使用lagronge乘数法 可以设拉氏函数为 L＝√((x-1)2+y2)+√((x+1)2+y2)+√(x2+(y-√3)2)+a(x-1+(√3/3)y)+b(x+1-(√3/3)y)+c(y-√3)+dy 现在分别对x,y,a,b,c,d求偏导数,可以得到六个六元方程组 解这个方程组就可以得到函数的极值点,代入原方程就可以得到最大值看看是否小于4