四面体ABCD各顶点到所对平面的距离是d1,d2,d3,d4,内切球半径为r,求证：d1+d2+d3+d4>=16r

题目

四面体ABCD各顶点到所对平面的距离是d1,d2,d3,d4,内切球半径为r,求证：d1+d2+d3+d4>=16r

答案

不妨设d1≤d2≤d3≤d4,它们所对面的面积为S1,S2,S3,S4,由于 体积V=(1/3)S1•d1=(1/3)S2•d2=(1/3)S3•d3=(1/3)S4•d4得 S1≥S2≥S3≥S4,从而由排序不等式,可得(d1+d2+d3+d4)(S1+S2+S3+S4)≥4(d1...