设函数f(x)=x^4+ax^3+2x^2+b

题目

设函数f(x)=x^4+ax^3+2x^2+b
若对任意a∈【-2,2】,不等式f(x)≤1在【-1,1】上恒成立,求b的范围.

答案

题意要求,若对任意a∈【-2,2】等式f(x)≤1【-1,1】上恒成立
（1）当-1≤x＜0时,f（x）=x^4+ax^3+2x^2+b,
显然得,对于任意的x,当a=-2时,比a∈（-2,2]时都要大,所以有x^4-2x^3+2x^2+b≤1,
令P（x）=x^4-2x^3+2x^2+b,P’（x）=4x³-6x²+4x＜0恒成立,所以P（x）单调递减,
P（x）max=P(-1)≤1,得b≤-4
（2）当0≤x≤1时,f（x）=x^4+ax^3+2x^2+b,
显然得,对于任意的x,当a=2时,比a∈[-2,2)时都要大,所以有x^4+2x^3+2x^2+b≤1,
令Q（x）=x^4+2x^3+2x^2+b,Q’（x）=4x³+6x²+4x＜0恒成立,所以Q（x）单调递减,
Q（x）max=P(1)≤1,得b≤-4
综上,b≤-4