在以o为原点的直角坐标系中点A(4,-3)为RT△OAB的直角顶点已知AB向量的模=2OA向量的模点B的纵坐标>0

题目

在以o为原点的直角坐标系中点A(4,-3)为RT△OAB的直角顶点已知AB向量的模=2OA向量的模点B的纵坐标>0
求RT△OAB的两直角边上的中线所成钝角的余弦值.要详细解答

答案

OA=(4,-3)
|OA|=5
因为 AB⊥OA,且|AB|=2|OA|
所以 AB=±2（3,4）=±（6,8）
则OB=OA+AB=（10,5）或（-2,-11）
而B纵坐标>0,所以 OB=（10,5）,即B（10,5）
设AO、AB的中点分别为C、D
则OC=1/2*OA=（2,-3/2）,OD=1/2*(OA+OB)=(7,1）
所以 BC=OC-OB=（-8,-13/2）,
cos=(BC*OD)/(|BC|*|OD|)=(-56-13/2)/(√106.25*√50)=-125/√21250=-5√34/34.