设二次函数f(x)=ax^2+bx(a≠0)满足条件1.f（x-4)=f(2-x)；2.f(x)的图像与直线y=x相切 求f(x)的解析式

题目

设二次函数f(x)=ax^2+bx(a≠0)满足条件1.f（x-4)=f(2-x)；2.f(x)的图像与直线y=x相切 求f(x)的解析式

答案

将x-4与2-x分别带入f,得：a(x-4)^2+b(x-4)=a(2-x)^2+b(2-x)
整理得：-4ax+12a+2bx-6b=0
2[(b-2a)x+(2a-b)]=0
(b-2a)x+(2a-b)=0
2a(1-x)-b(1-x)=0
因为x的定义域为R,所以2a=b.所以f(x)=ax^2+2ax
又因为f(x)的图像与直线y=x相切,所以ax^2+2ax=x,ax^2+2ax-x=0.
所以Δ=（2a-1）^2=0,所以2a-1=0,a=0.5,所以b=1,f(x)=0.5x^2+x.