实二次型 f(x1...xn）正定的充要条件是它的符号差为 n（√）

题目

实二次型 f(x1...xn）正定的充要条件是它的符号差为 n（√）
课本定义是秩等于n,符合差为-n!请问此题不是差了一条件秩等于n么?怎么是正确的?

答案

符号差是正惯性指数减去负惯性指数＝n,注意到正惯性指数和负惯性指数都是非负整数,
且都小于等于n,两者之和等于n,因此只能是负惯性指数为0,正惯性指数＝n.
因为若负惯性指数>=1,则正惯性指数<=n－1,两者差小于n－1,不会等于n.
于是负惯性指数＝0,正惯性指数＝n.
也就是说书上的说法没错,只是条件多了而已,实际上只要符号差＝n就能保证书上的条件成立.