计算被积函数含绝对值的二重积分

题目

计算被积函数含绝对值的二重积分
∫∫|cos(x+y)|dδ,其中D由直线y=x,y=0,x=π2所围成的,计算其二重积分.答案是π2-1,跟答案不一样,

答案

请看附图. 除附图外,还有其它简单解法.根据函数cos(x+y)对称性可知,此积分的区间也可表示为由直线y=0,x=0,和y=π/2-x所围成的区域.由于在此区域内cos（x+y）≥0,故绝对值可被简单地拿掉而不用分区积分.即：
∫∫|cos(x+y)|dδ=∫dy∫|cos(x+y)|dx=∫dy∫cos(x+y)dx, （y积分：从0到π/2）,（x积分：从0到π/2-y）.这样：
∫dy∫cos(x+y)dx=∫(1-siny)dy=[y+cosy] (积分从0到π/2)
=π/2-1
即：∫∫|cos(x+y)|dδ=π/2-1