有数学微分方程类问题着急询问...

题目

有数学微分方程类问题着急询问...
dy/dx-ytanx=cosx..麦克劳林级数展开到x^2的话会是怎么样,假如y等于负二分之π,x等于0的话?另外原方程在x等于π,y等于0的时候,
不要意思,诚信求教了!麻烦提供下过程啊...

答案

求解微分方程 dy/dx-ytanx=cosx
令u=ycosx, 即y=u/cosx, 于是
dy/dx=[cosx(du/dx)+usinx]/cos²x=(1/cosx)(du/dx)+(utanx)/cosx=(1/cosx)(du/dx)+ytanx
代入原方程得(1/cosx)(du/dx)=cosx
故du/dx=cos²x; du=cos²xdx
u=∫cos²dx=(1/2)∫(1+cos2x)dx=(1/4)∫(1+cos2x)d(2x)=(1/4)(2x+sin2x)=(x+sinxcosx)/2
故y=[(x+sinxcosx)/2cosx+C