已知集合A既是分式不等式1/x−3＜1的解集，又是一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集． （1）求集合A； （2）求实数a，b的值．

题目

已知集合A既是分式不等式

1

x−3

＜1的解集，又是一元二次不等式x²+ax+b＞0的解集．
（1）求集合A；
（2）求实数a，b的值．

答案

（1）

1

x−3

＜1⇒

1

x−3

−1＜0⇒

4−x

x−3

＜0⇒(4−x)(x−3)＜0⇒x＜3或x＞4，
所以集合A=（-∞，3）∪（4，+∞）．
（2）根据集合A为一元二次不等式x²+ax+b＞0的解集，则方程x²+ax+b=0的根即为x₁=3，x₂=4，
由韦达定理知

x1+x2＝−a x1•x2＝b

⇒

a＝−7 b＝12

．

（1）解分式不等式求得A．（2）根据A利用韦达定理求得实数a，b的值．

本题考点：其他不等式的解法；一元二次不等式的解法．

考点点评：本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，韦达定理的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．