过双曲线x的平方-y的平方=4上任意一点M作它的一条渐近线的垂线段,垂足为N,0为原点,则三角形OMN的面积为

题目

过双曲线x的平方-y的平方=4上任意一点M作它的一条渐近线的垂线段,垂足为N,0为原点,则三角形OMN的面积为

答案

x^2-y^2=4,
——》渐近线的方程为：x^2-y^2=0,即x=+-y,
假设点M在第一象限,坐标为(a,b),点N在渐近线y=x上,则：
MN的方程为：x+y=a+b,
——》xn=yn=(a+b)/2,即N点为（(a+b)/2,(a+b)/2）,
——》ON=(a+b)√2/2,MN=√[(a-xn)^2+(b-yn)^2]=(a-b)√2/2,
又点M在双曲线上,——》a^2-b^2=4,
——》
S△OMN
=1/2*ON*MN
=1/2*(a+b)√2/2*(a-b)√2/2
=(a^2-b^2)/4
=1.