如图,二次函数y=-x²+bx+c的图象与x轴交于A(-1/2,0),B(2,0)两点,且与y轴交于点C.

题目

如图,二次函数y=-x²+bx+c的图象与x轴交于A(-1/2,0),B(2,0)两点,且与y轴交于点C.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）判断△ABC的形状,并说明理由；
（3）在此抛物线上是否存在点P,使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形?若存在,求出P点的坐标（要过程）；若不存在,说明理由.

答案

(1)因为：二次函数y=-x²+bx+c的图象与x轴交于A(-1/2,0),B(2,0)两点
所以-x²+bx+c = 0的一元二次方程的跟为x1= -1/2,x2= 2;得出 b= 3/2 c= 1
所以：y = -x²+(3/2)*x+1
(2)直角三角型,AC的平方等于5/4,AB的平方等于25/4.BC的平方等于5 ;
AC的平方+BC的平方 = AB的平方;
(3) 看是否存在一条直线以BC的斜率为斜率过A点,是否抛物线相交.
这条直线的斜率：k =-1/2,A(-1/2,0) 所以直线方程为 y= (-1/2)*x-1/4;
y= (-1/2)*x-1/4;
y = -x²+(3/2)*x+1;联立得p点的横坐标位置应大于对称轴x = 3/2;
p（5/2,-3/2)