在三角形ABC中,AD平分∠BAC,DE垂直AB于E,DF垂直AC于F,且三角形ABD与三角形ADC面积相等,求AD垂直BC

题目

在三角形ABC中,AD平分∠BAC,DE垂直AB于E,DF垂直AC于F,且三角形ABD与三角形ADC面积相等,求AD垂直BC

答案

证明：设BC边上的高为h,则：
又AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC
则易证得：Rt△ADE≌Rt△ADF (AAS)
所以DE=DF
又S△ABD=(1/2)*AB*DE,S△ADC=(1/2)*AC*DF
且S△ABD=S△ADC,
则(1/2)*AB*DE=(1/2)*AC*DF
所以AB=AC
所以AD⊥BC (等腰三角形中三线合一)