已知函数f（x）=4x2-4ax+a2-2a+2在区间[0，2]上有最小值为g（a），求g（a）的最小值．

题目

已知函数f（x）=4x²-4ax+a²-2a+2在区间[0，2]上有最小值为g（a），求g（a）的最小值．

答案

f(x)＝4(x−

a

2

)2−2a+2
①当

a

2

≤0即a≤0时，函数f(x)在[0，2]上是增函数，∴f（x）_min=f（0）=a²-2a+2（2分）
②当o＜

a

2

＜2即0＜a＜4时，f（x）_min=f（

a

2

）=-2a+2（4分）
③当

a

2

≥2即a≥4时，函数f（x）在[0，2]上是减函数，（6分）
∴f（x）_min=f（2）=a²-10a+18∴g(a)＝

a2−2a+2，a≤0 −2a+2 ，&0＜a＜4 a2−10a+18，a≥4.

（8分）
又当a≤0时，g（a）_min=g（0）=2（10分）
当0＜a＜4时，g（a）＞g（4）=-6（12分）
当a≥4时，g（a）_min=g（5）=-7（14分）
∴g（a）_min=g（5）=-7（16分）

函数f（x）=4x²-4ax+a²-2a+2在区间[0，2]上有最小值g（a），对函数进行配方，对对称轴是否在区间内进行讨论，从而可知函数在何处取得最小值，解出相应的a的范围即可．

本题考点：函数的最值及其几何意义．

考点点评：考查二次函数在闭区间上的最值问题中的动轴定区间上的最值问题，体现了分类讨论和运动变化的思想方法，属中档题．