把一石头仍进一个井里,受空气阻力,空气阻力与石头下落的速度成正比,比例系数为k,落地时间为T,求井深

题目

把一石头仍进一个井里,受空气阻力,空气阻力与石头下落的速度成正比,比例系数为k,落地时间为T,求井深

答案

设这块石头质量为m,受到的重力加速度为g
则合力为f=ma=mg-kv
即dv/dt=g-(k/m)v
dv/[g-(k/m)v]=dt
dln[(k/m)v-g]=-(k/m)dt
g-(k/m)v=ge^(-kt/m)
v=(mg/k)[1-e^(-kt/m)]
即dh/dt=(mg/k)[1-e^(-kt/m)]
dh=(mg/k)[1-e^(-kt/m)]dt
=d[(mgt/k)+(m^2g/k^2)e^(-kt/m)]
井深：H=(mgT/k)+(m^2g/k^2)[e^(-kT/m)-1]