试证:若n维实向量p与任意n维实向量都正交,则p必为零向量

题目

试证:若n维实向量p与任意n维实向量都正交,则p必为零向量

答案

假设p为(a1,a2,a3,a4,...,an)
既然对任意的实向量都正交,不妨取单位坐标向量(1,0,0,0,...,0)
所以a1*1+a2*0+...+an*0=a1=0
再取单位坐标向量(0,1,0,0,...,0)得到a2=0
如此继续下去,最终得到a1=a2=...=an=0
再验证一下(0,0,0,...,0)与任意(b1,b2,b3,...,bn)的内积都是0,所以满足题设的任意假设.