设入1入2 是矩阵A的两个不同的特征值,a1a2 分别属于特征值入1入2 的特征向量,证明：a1a2 线性无关

题目

设入1入2 是矩阵A的两个不同的特征值,a1a2 分别属于特征值入1入2 的特征向量,证明：a1a2 线性无关

答案

反证吧：假设线性相关,设k*a1=a2 （k不等于0）
入1*a1=A*a1
入2*a2=A*a2=A*(k*a1)=k*(A*a1)=k*入1*a1
得到a1=入2/(k*入1)*a2
最初我们假设a1=a2/k,所以入2/(k*入1)=1/k =>入1/入2=1,与题中入1入2不同矛盾,故a1a2 线性无关