四面体A-BCD 的四个顶点都在半径为2的球上,且AB、AC、AD两两互相垂直,则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值为（ ）

题目

四面体A-BCD 的四个顶点都在半径为2的球上,且AB、AC、AD两两互相垂直,则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值为（ ）
A.8
B.6
C.4
D.2根号3

答案

设AB=a、AC=b、AD=c.
∵S△ABC+S△ABD+S△ACD
=(ab+bc+ca)/2
又∵ab≤（a^2+b^2）/2；
bc≤（b^2+c^2）/2；
ca≤（c^2+a^2）/2,
∴ab+bc+ca≤a^2+b^2+c^2,
而a^2+b^2+c^2=4^2=16,
∴S△ABC+S△ABD+S△ACD≤8,即最大值8.选A.
注意：本题的图形是在一个球面内有一个内接长方体,AB、AC、AD是从长方体一个顶点出发的三条棱.因此,a^2+b^2+c^2=4^2=16.
事实上,凡是过一点的三条线段两两垂直,垂直的三条线段,都可以作为长方体的三条相邻的棱.