证明：若n阶方阵A的伴随矩阵A*可逆,则A可逆

题目

证明：若n阶方阵A的伴随矩阵A*可逆,则A可逆

答案

【反证法】
假设A不可逆,则 |A|=0
所 A·A* = |A|·E = 0
因 A* 逆,等式两边右乘A*的逆,得
A=A·A*·A*的逆= A·A*·A*的逆 = 0·A*的逆 = 0
即有 A=0
进而有 A*=0 （根据伴随矩阵的意义即可）
与 A* 可逆矛盾.
所以,假设错误.
于是A可逆.
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