一道一元函数的导数证明题

题目

一道一元函数的导数证明题
证明：双曲线xy=a^2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a^2.
没头绪啊,还请高人赐教……

答案

y=a^2/x
则y′=-a^2/x^2.
设P(t,a^2/t),则过点P的切线斜率为-a^2/t^2,
切线方程为y-a^2/t=(-a^2/t^2)(x-t),
于是Q(2t,0),R(0,2a^2/t).
(1).QR的中点(t,a^2/t)恰是点P.
(2).三角形OQR面积=|2t|*|2a^2/t|/2=2a^2.